Bican được sinh ra trong một gia đình nghèo ở Vienna. Mẹ ông là Ludmila và bố là František Bican. Ông là con thứ hai trong ba người con. [2] Ludmila là người Viennese lai Séc còn František lại đến từ Sedlice ở miền Nam Bohemia. František, cha của Josef cũng là một cầu thủ từng chơi cho Hertha Vienna. Ông đã đi chiến đấu trong Thế chiến I và trở về mà không bị thương tật gì. Tuy nhiên, František mất lúc mới 30 tuổi vào năm 1921 bởi vì ông đã từ chối điều trị chấn thương thận trong một trận đấu bóng đá. Mẹ của ông làm việc trong một nhà bếp nhà hàng. Vì nhà nghèo, thuở nhỏ Bican chơi bóng đá mà không có bất cứ đôi giày nào, tuy nhiên điều này đã giúp ông trau dồi kỹ năng kiểm soát bóng của mình. Bican học tại trường Jan Amos Komenský, một trường học Cộng hòa Séc tại Vienna. Bốn năm sau cái chết của cha mình vào năm 1925, mười hai tuổi Bican bắt đầu chơi cho đội trẻ Hertha Vienna, Hertha Vienna II. Năm 18 tuổi, Rapid Vienna - một câu lạc bộ lớn trong thành phố vào thời điểm đó - phát hiện ra tài năng của ông và đưa ông về